超マルチ双対四元数による剛体運動ジェットの任意次エルミート補間

本論文は、単位双対クォータニオンで表される有限次剛体運動ジェットの両側補間を研究している。order-n multidual (MD) algebra は切り詰められた多項式代数 R[ε]/(ε^{n+1}) であり、hyper-multidual (HMD) quaternions はこの代数の係数を持つ双対クォータニオンである。時間的 HMD 変換はポーズとその導関数を符号化するが、一般的な HMD 曲線はそのポーズ射影の時間的ジェットである必要はなく、この要件を holonomicity と呼ぶ。

先行研究では、剛体運動の補間に screw linear interpolation (ScLERP) や双対クォータニオンを用いた手法が提案されているが、高次導関数（ジェット）を扱うものは限られている。本論文は、HMD 代数を用いて任意次数のジェットを統一的に扱い、holonomicity の概念を導入して、直接的な HMD-ScLERP が非ホロノミックになることを示し、ホロノミックな代替手法を提案している点が新しい。

手法の肝は、時間的変換とその相対記述子がユニタリであることを示し、再帰的な係数制約を導出すること。また、許容対数チャートにおける局所実現可能性の逆定理を与える。さらに、単位 HMD クォータニオンへの ScLERP の代数的拡張を行い、ホロノミックな代替として、端点変換を対数双対クォータニオン座標に写像し、次数 (2n+1) の Hermite 多項式を適用して指数写像で持ち上げる方法を提案している。

回転と完全な SE(3) のテストを二次まで行い、さらに三次の多項式チェックを追加して、述べた欠陥と端点ジェットを再現することを検証した。

要旨からは、直接的な HMD-ScLERP が任意の端点ジェットに対して一般的に非ホロノミックであること、係数基準と明示的な端点および一次内部接触欠陥が示されている。しかし、提案手法の実用性や計算コスト、他の補間手法との比較などの議論は要旨からは不明。

要旨で参照されている screw linear interpolation (ScLERP) や dual quaternion 補間に関する研究、および Hermite 補間や multidual algebra に関する基礎的な論文が挙げられる。具体的には、ScLERP の原論文や、双対クォータニオンを用いた剛体運動補間の研究が関連する。